考研八个常见的泰勒公式

考研八个常见的泰勒公式？

泰勒公式是将一个函数在某一点处展开成无穷级数的公式，可用于近似计算。以下是常见的8个泰勒公式：

1. 正弦函数泰勒公式：

$$sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-frac{x^7}{7!}+...$$

2. 余弦函数泰勒公式：

$$cos x=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-frac{x^6}{6!}+...$$

3. 指数函数泰勒公式：

$$e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+...$$

4. 对数函数泰勒公式：

$$ln(1+x)=x-frac{x^2}{2}+frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}+...（-1<xleq1）$$

5. 反正切函数泰勒公式：

$$arctan x=x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{5}-frac{x^7}{7}+...（|x|<1）$$

6. 正切函数泰勒公式：

$$tan x=x+frac{x^3}{3}+frac{2x^5}{15}+frac{17x^7}{315}+...（-π/2<x<π/2)$$

7. 二次根号函数泰勒公式：

$$sqrt{1+x}=1+frac{x}{2}-frac{x^2}{8}+frac{x^3}{16}-frac{5x^4}{128}+...（|x|<1）$$

8. 幂次函数泰勒公式：

$$f(x)=sum_{n=0}^inftyfrac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n$$

以上内容延伸阅读：

ln函数的极限公式？

$$lim_{xto0}frac{ln(x)}{x}=1$$

这个公式可以通过泰勒级数展开来证明。首先，我们可以将ln函数表示为：

$$ln(x)=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n-1}{n!}$$

然后，我们将x替换为0,得到：

$$lim_{xto0}frac{x^n-1}{n!}=lim_{xto0}frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$

接下来，我们对两边取极限，得到：

$$lim_{xto0}frac{x^n-1}{n!}=lim_{xto0}frac{x^{n+1}}{(n+1)!}=lim_{xto0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}$$

由于指数函数$e^x$在$x=0$处有定义，所以我们可以将其代入上式，得到：

$$lim_{xto0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}=lim_{xto0}frac{e^{nx+1}}{(n+1)!}=lim_{xto0}frac{e^{nx}}{(n+1)!}$$

现在，我们可以使用洛必达法则来求解这个极限。根据洛必达法则，当$x$趋近于0时，$frac{e^x}{x}$的极限等于$lim_{xto0}frac{e^x}{x}=e^0=1$,因此：

$$lim_{xto0}frac{e^{nx}}{(n+1)!}=1$$

最后，我们将$n$替换为$-1$,得到：

$$lim_{xto0}frac{ln(x)}{x}=1$$<br/>

当x趋向于0时，ln(1+x)~x等价无穷小的证明？

lim(x→0) ln(1+x)/x=lim(x→0) ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0) (1+x)^(1/x)]由两个重要极限知:lim(x→0) (1+x)^(1/x)=e；所以原式=lne=1,所以ln(1+x)和x是等价无穷小

无穷小就是以数零为极限的变量。然而常量是变量的特殊一类，就像直线属于曲线的一种。因此常量也是可以当做变量来研究的。这么说来——0是可以作为无穷小的常数。从另一方面来说，等价无穷小也可以看成是泰勒公式在零点展开到一阶的泰勒展开公式。等价无穷小的定义（C为常数），就说b是a的n阶的无穷小， b和a^n是同阶无穷小。特殊地，C=1且n=1，即，则称a和b是等价无穷小的关系，记作a～b。

考研八个常见的泰勒公式

2024-04-29 14:18:01 
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